Die Folge \( (a_n)= \frac{1}{n}\) für \(n \in \mathbb{N}\) konvergiert gegen \( 0\).

Beweis: Sei \( \epsilon >0 \) beliebig - also die vom Gegenspieler gewählte Zahl. Betrachten wir nun \( \frac{1}{\epsilon} \) (in Analogie zur Folge), dann finden wir stets ein \( N_{\epsilon} \in \mathbb{N} \) mit \( N_{\epsilon} > \frac{1}{\epsilon} \), da Epsilon zwar beliebig, aber fest vom Gegenspieler gewählt ist. Für alle \( a_n \) mit \( n \geq N_{\epsilon} \) folgt dann:

\[ |\frac1n - 0|=\frac1n \leq \frac{1}{N_\epsilon} < \epsilon \]

Dabei haben wir ausgenutzt, dass \( \frac1n \) stets größer-gleich 0 ist und haben \( N_{\epsilon} > \frac{1}{\epsilon} \) nach \( \epsilon \) umgeformt. Dabei fällt das entsprechende \( N_{\epsilon} \) meist vom Himmel. In diesem Beispiel war das noch gut nachvollziehbar, aber wir wollen ein weiteres Beispiel betrachten, wo dies nicht so einfach der Fall ist.

\(\square\)